Introduction To Differential Geometry by Joel W. Robbinand Dietmar A. Salamon

Contents
1 What is Differential Geometry? 1
1.1 Cartography and Differential Geometry . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Topological Manifolds* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Smooth Manifolds Defined* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 The Master Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Foundations 15
2.1 Submanifolds of Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Tangent Spaces and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Tangent Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3 The Inverse Function Theorem . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Submanifolds and Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Vector Fields and Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 The Flow of a Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.3 The Lie Bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5.1 Definition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5.2 The Lie Algebra of a Lie Group . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.3 Lie Group Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.4 Closed Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.5 Lie Groups and Diffeomorphisms . . . . . . . . . . . . 67
2.5.6 Smooth Maps and Algebra Homomorphisms . . . . . . 69
2.5.7 Vector Fields and Derivations . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6 Vector Bundles and Submersions . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6.1 Submersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6.2 Vector Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.7 The Theorem of Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.8 The Intrinsic Definition of a Manifold* . . . . . . . . . . . . . 87
2.8.1 Definition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.8.2 Smooth Maps and Diffeomorphisms . . . . . . . . . . 92
2.8.3 Tangent Spaces and Derivatives . . . . . . . . . . . . . 93
2.8.4 Submanifolds and Embeddings . . . . . . . . . . . . . 95
2.8.5 Tangent Bundle and Vector Fields . . . . . . . . . . . 97
2.8.6 Coordinate Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.9 Consequences of Paracompactness* . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.9.1 Paracompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.9.2 Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.9.3 Embedding in Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . 107
2.9.4 Leaves of a Foliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.9.5 Principal Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3 The Levi-Civita Connection 121
3.1 Second Fundamental Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2 Covariant Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.3 Parallel Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.4 The Frame Bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.4.1 Frames of a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.4.2 The Frame Bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.4.3 Horizontal Lifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.5 Motions and Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5.1 Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5.2 Sliding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5.3 Twisting and Wobbling . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.5.4 Development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.6 Christoffel Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.7 Riemannian Metrics* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.7.1 Existence of Riemannian Metrics . . . . . . . . . . . . 166
3.7.2 Two Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.7.3 The Levi-Civita Connection . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.7.4 Basic Vector Fields in the Intrinsic Setting . . . . . . 173
4 Geodesics 175
4.1 Length and Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.1.1 The Length and Energy Functionals . . . . . . . . . . 175
4.1.2 The Space of Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.1.3 Characterization of Geodesics . . . . . . . . . . . . . . 180
4.2 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.3 The Exponential Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.3.1 Geodesic Spray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.3.2 The Exponential Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.3.3 Examples and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.4 Minimal Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.4.1 Characterization of Minimal Geodesics . . . . . . . . . 197
4.4.2 Local Existence of Minimal Geodesics . . . . . . . . . 199
4.4.3 Examples and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.5 Convex Neighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.6 Completeness and Hopf{Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.7 Geodesics in the Intrinsic Setting* . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.7.1 Intrinsic Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.7.2 Geodesics and the Levi-Civita Connection . . . . . . . 219
4.7.3 Examples and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5 Curvature 223
5.1 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.2 The Riemann Curvature Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.2.1 Definition and Gauß{Codazzi . . . . . . . . . . . . . . 232
5.2.2 Covariant Derivative of a Global Vector Field . . . . . 234
5.2.3 A Global Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2.4 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.2.5 Riemannian Metrics on Lie Groups . . . . . . . . . . . 241
5.3 Generalized Theorema Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.3.1 Pushforward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.3.2 Theorema Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.3.3 Gaußian Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.4 Curvature in Local Coordinates* . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6 Geometry and Topology 257
6.1 The Cartan{Ambrose{Hicks Theorem . . . . . . . . . . . . . 257
6.1.1 Homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.1.2 The Global C-A-H Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.1.3 The Local C-A-H Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.2 Flat Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.3 Symmetric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
6.3.1 Symmetric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.3.2 Covariant Derivative of the Curvature . . . . . . . . . 275
6.4 Constant Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.4.1 Sectional Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.4.2 Constant Sectional Curvature . . . . . . . . . . . . . . 281
6.4.3 Hyperbolic Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.5 Nonpositive Sectional Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.5.1 The Cartan{Hadamard Theorem . . . . . . . . . . . . 293
6.5.2 Cartan’s Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . 299
6.5.3 Positive Definite Symmetric Matrices . . . . . . . . . . 301
6.6 Positive Ricci Curvature* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.7 Scalar Curvature* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.8 The Weyl Tensor* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7 Topics in Geometry 325
7.1 Conjugate Points and the Morse Index* . . . . . . . . . . . . 326
7.2 The Injectivity Radius* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.3 The Group of Isometries* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.3.1 The Myers{Steenrod Theorem . . . . . . . . . . . . . 340
7.3.2 The Topology on the Space of Isometries . . . . . . . 342
7.3.3 Killing Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
7.3.4 Proof of the Myers{Steenrod Theorem . . . . . . . . . 349
7.3.5 Examples and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
7.4 Isometries of Compact Lie Groups* . . . . . . . . . . . . . . . 360
7.5 Convex Functions on Hadamard Manifolds* . . . . . . . . . . 365
7.5.1 Convex Functions and The Sphere at Infinity . . . . . 366
7.5.2 Inner Products and Weighted Flags . . . . . . . . . . 374
7.5.3 Lengths of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
7.6 Semisimple Lie Algebras* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
7.6.1 Symmetric Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . 388
7.6.2 Simple Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.6.3 Semisimple Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
7.6.4 Complex Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
A Notes 407
A.1 Maps and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
A.2 Normal Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
A.3 Euclidean Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
References 413
Index 419